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$$ \sum_{t=0}^{\infty}\beta U(c_{t}) $$

本文参考Acemoglu（2019）《现代经济增长导论》上册第8章的标准Ramsey模型的设定。

1. 模型设定

时间与参与人 构造一个Ramsey经济体，时间是连续的，且自时点$0$开始走向无穷。经济体内有两类参与人：代表性家庭和代表性企业。他们的数量均标准化为1。另外，家庭和企业均是无限存活的。

资源和技术禀赋 在初始时点$t=0$时，家庭拥有资本$K(0)$，人口$L(0)$, 且家庭成员无弹性供给单位劳动，因此，家庭也拥有劳动$L(0)$。同时，家庭还拥有劳动加强的生产技术，技术水平为$A(0)$，因此，家庭拥有$A(0)L(0)$的有效劳动。

运行规则 参与人各司其职且遵守竞争性市场规则，企业向家庭租赁有效劳动$AL$和资本$K$以生产最终商品$Y$；家庭出租劳动$AL$和资本$K$获得收入以消费$C$和投资$I$；由于经济体是封闭的，商品$Y$完全被内循环，即所有商品完全被家庭消费或者投资掉。

另外，企业和家庭均是价格接受者。资本和劳动的交易价格$r,,w$由参与人们“看不见的手”来决定，且市场无摩擦，要素市场即时完全出清，不存在非自愿失业和库存。

现在经济体开始启动$t>0$, 家庭和企业在各自的约束下追求各自的目标：

家庭的目标与约束 家庭内每个成员均生育$(1+n)$个孩子，即人口增长率为常数$n$，即家庭在时点$t$的人口和劳动数量为 $$ L(t)=L(0)e^{nt} $$ 同时存在外生劳动加强型技术进步，技术进步率为常数$g$, 即家庭在时点$t$的技术水平为 $$ A(t) =A(0)e^{gt} $$ 家庭内部成员同质，统一决策。因此，家庭内部间采取平均分配原则。每个成员均从人均消费$c(t)$中获得即时效用$u[c(t)]$，即时效用函数为CRRA形式： $$ u[c(t)]= \begin{cases} \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1-\theta} & \theta \neq 1,,\theta \geq0, \ \ln c(t) & \theta =1.\end{cases} $$ 其中，$\theta$为相对风险厌恶系数，其倒数$1/\theta$为消费的跨期替代弹性。家庭统一决策最大化家庭终生效用，且家庭内成员均有相同的时间偏好，即主观贴现率恒为$\rho$，其中$0<\rho<1$。对应的家庭终生效用函数$U_{0}$如下： $$ U_{0}=\int_{t=0}^{\infty}e^{-(\rho-n)t}u[c(t)]dt $$ 这意味着，时间贴现因子为$\beta = e^{-\rho}$。显然，我们需要保证终生效用是有限的，否则优化没有意义。这意味着我们需要假设$\rho>n$，即主观贴现率必须大于人口增长率。我们将此假设设为假设1如下：

假设0 （贴现率假设）$\rho >n$。

家庭效用最大化受到预算流平衡和借贷限制。家庭将收入用于消费和投资，即家庭预算流约束如下： $$ I(t)=r(t)K(t)+w(t)A(t)L(t)-c(t)L(t) $$ 其中，$w(t)$为单位有效劳动的工资率，资本面临外生折旧，折旧率为常数$\delta \in (0,1]$，因此投资一部分用于折旧弥补$\delta K(t)$，另一部分才是有效投资$\dot{K}(t)$，此时可改写家庭预算流约束如下： $$ \dot{K}(t)=[r(t)-\delta]K(t)+w(t)A(t)L(t)-c(t)L(t) $$ 另外，由于不存在流动性约束，为保证跨期预算约束有界，需要防止庞氏骗局，施加非庞氏条件如下： $$ \lim_{t\to \infty}K(t)e^{-\int_{t=0}^{\infty}[r(s)-\delta]ds} = 0 $$ 企业的目标与约束 代表性企业具有新古典生产技术，它向家庭以竞争性价格租赁资本$K(t)$并雇佣有效劳动$A(t)L(t)$生产单一同质产品$Y(t)$以最大化利润。其对应的生产函数如下： $$ Y(t)=[K(t)]^{\alpha}[A(t)L(t)]^{1-\alpha} $$ 其中$\alpha \in (0,1)$为资本在总产出的份额，且利润最大化的目标为 $$ \Pi(t) =\max_{K_{t},L_{t}} Y(t)-r(t)K(t)-w(t)A(t)L(t) $$ 显然，这是个静态最优化问题，对应的一阶最优条件为： $$ r(t)=\alpha [K(t)]^{\alpha-1}[A(t)L(t)]^{1-\alpha} $$

$$ w(t) = (1-\alpha)[K(t)]^{\alpha}[A(t)L(t)]^{-\alpha} $$

即要素的边际产出等于要素价格。

2. Ramsey模型求解

重述家庭和企业设定的人均形式

由于家庭成员是同质的，因此可以使用人均形式来简化分析。定义人均的资本存量$k(t)\equiv \frac{K(t)}{L(t)}$和人均消费$c(t)\equiv \frac{C(t)}{L(t)}$，家庭最优化问题转换为人均形式如下： $$ \max_{c(t)} \int_{t=0}^{\infty}e^{-(\rho-n)t}u[c(t)]dt,\quad \rho>n $$

$$ S.t. \qquad \dot{k}(t)=[r(t)-\delta-n]k(t)+w(t)A(t)-c(t) $$

$$ \qquad \lim_{t\to \infty}k(t)e^{-\int_{t=0}^{\infty}[r(s)-\delta-n]ds} = 0 $$

$$ \qquad u[c(t)]= \begin{cases} \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1-\theta} & \theta \neq 1,,\theta \geq 0 \ \ln c(t) & \theta =1.\end{cases} $$

家庭最优化 家庭动态最优化使用最优控制方法。原问题转换贴现形式的H函数为： $$ \mathcal{H}^{Discount} =e^{-(\rho-n)t}u[c(t)]+\lambda(t){[r(t)-\delta-n]k(t)+w(t)A(t)-c(t)} $$ 家庭最优化内点解必要条件则为： $$ \mathcal{H}_{c}=e^{-(\rho-n)t}u’(c(t))-\lambda(t)=0 $$

$$ \mathcal{H}_k =\lambda(t)[r(t)-\delta-n]=-\dot{\lambda}(t) $$

$$ \lim_{t\to\infty}\lambda(t)k(t)=0 $$

我们从如上H系统中得到什么信息呢？为了更好地说明经济含义，将其转换为现值形式，令$\mu(t)=e^{(\rho-n)t}\lambda(t)$， 则上述必要条件变为： $$ u’(c(t))-\mu(t)=0 $$

$$ \mu(t)[r(t)-\delta-n]=-\dot{\mu}(t)+(\rho-n)\mu(t) $$

$$ \lim_{t\to\infty}e^{-(\rho-n)t}\mu(t)k(t)=0 $$

首先，第一个条件可以得知消费的现值影子价格$\mu(t)$: $$ \mu(t)=u’(c(t)) $$ 其次，第二个条件可以得到消费的现值影子价格的变动率$\frac{\dot{\mu}}{\mu}$: $$ \frac{\dot{\mu}}{\mu}=-[r(t)-\delta-\rho] $$ 进一步，$\frac{\dot{\mu}}{\mu}$替代入影子价格的决定后得 $$ -\frac{\dot{\mu}}{\mu}=-\frac{u’’(c(t))c(t)}{u’(c(t))}\frac{\dot{c}(t)}{c(t)} $$ 其中，$\epsilon_{u}(c(t))\equiv -\frac{u’’(c(t))c(t)}{u’(c(t))}$为相对风险厌恶系数，在本文CRRA效用函数中，$\epsilon_{u}(c(t))$为常数$\theta$。因此，我们得到消费增长率的决定方程如下： $$ \frac{\dot{c}}{c}=[r(t)-\delta-\rho]\cdot\frac{1}{\theta} $$ 其中, $1/\theta$ 又表示消费的跨期替代弹性。

最后，分析第三个条件：横截性条件。根据第二条件中$\frac{\dot{\mu}}{\mu}$的决定可知,，给定$c(0)$则有$\mu(0)$，即求解$\mu(t)$的微分方程有 $$ \mu(t)=u’[c(0)]e^{-\int_{0}^{t}[r(s)-\delta-\rho]ds} $$ 则第三个条件变为 $$ \lim_{t\to\infty}k(t)e^{-\int_{0}^{t}[r(s)-\delta-n]ds}=0 $$ 这也将自动满足非庞氏条件。

总结，家庭最优化的动态行为如下： $$ \dot{k}(t)=[r(t)-\delta-n]k(t)+w(t)A(t)-c(t) \ \frac{\dot{c}}{c}=[r(t)-\delta-\rho]\cdot\frac{1}{\theta} \ \lim_{t\to\infty}k(t)e^{-\int_{0}^{t}[r(s)-\delta-n]ds}=0 $$ 企业最优化 由于代表性企业使用劳动增长型技术，因此可以使用人均有效形式来简化分析。定义人均有效资本存量（或有效资本劳动比）$\hat{k}(t)\equiv \frac{K(t)}{A(t)L(t)}$，人均有效产出$\hat{y}(t)\equiv \frac{Y(t)}{A(t)L(t)}$，则企业人均有效形式的最优化条件如下： $$ r(t) = \alpha [\hat{k}(t)]^{\alpha-1} $$

$$ w(t)=(1-\alpha)[\hat{k}(t)]^{\alpha} $$

一般均衡 要素市场完全出清，家庭和企业最优化联合：

$$ U_{0}=\int_{t=0}^{\infty}e^{-(\rho-n)t}u[c(t)]dt \ \qquad u[c(t)]= \begin{cases} \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1-\theta} & \theta \neq 1,,\theta \geq0 \ \ln c(t) & \theta =1.\end{cases} \ \dot{k}(t)=[r(t)-\delta-n]k(t)+A(t)w(t)-c(t) \ \frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=[r(t)-\delta-\rho]\cdot\frac{1}{\theta} \ \lim_{t\to\infty}k(t)e^{-\int_{0}^{t}[r(s)-\delta-n]ds}=0
r(t) = \alpha [\hat{k}(t)]^{\alpha-1} \ w(t)=(1-\alpha)[\hat{k}(t)]^{\alpha} \ k(0),, c(0),,A(0) ,\text{given}. $$

为了，更好地理解，我们将其全部转换为人均有效形式，根据定义人均有效消费$\hat{c}(t)=\frac{c(t)}{A(t)}$和人均有效资本存量$\hat{k}(t)=\frac{k(t)}{A(t)}$以及技术进步率$\frac{\dot{A}(t)}{A(t)}=g$则知： $$ \frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=\frac{\dot{\hat{c}}(t)}{\hat{c}(t)}+g $$

$$ \frac{\dot{k}(t)}{k(t)}=\frac{\dot{\hat{k}}(t)}{\hat{k}(t)}+g $$

则人均有效形式的Ramsey系统如下：

$$ U_{0}=\int_{t=0}^{\infty}e^{-(\rho-n)t}u[\hat{c}(t)]dt \ \qquad u[\hat{c}(t)]= \begin{cases} \frac{[A(0)e^{gt}\hat{c}(t)]^{1-\theta}-1}{1-\theta}, & \theta \neq 1,,\theta \geq0 \ \ln \hat{c}(t)+\ln A(0)+gt, & \theta =1.\end{cases} \ \dot{\hat{k}}(t)=[r(t)-\delta-n-g]\hat{k}(t)+w(t)-\hat{c}(t) \ \frac{\dot{\hat{c}}(t)}{\hat{c}(t)}=[r(t)-\delta-\rho-\theta g]\cdot\frac{1}{\theta} \ \lim_{t\to\infty}\hat{k}(t)e^{-\int_{0}^{t}[r(s)-\delta-n-g]ds}=0 \ r(t) = \alpha [\hat{k}(t)]^{\alpha-1} \ w(t)=(1-\alpha)[\hat{k}(t)]^{\alpha} \ \hat{k}(0),, \hat{c}(0) ,\text{given}. $$ 以上便刻画了整个标准Ramsey模型的动态系统。

为简化分析，暂时不讨论稳态的存在唯一性。特别地，当$t \to \infty$时，经济体趋于唯一稳态。则有 $\hat{k}(t) \to \hat{k}^{},,\hat{c}(t) \to \hat{c}^{}$ 。其中，根据消费增长率方程（Euler方程）知$r(t) \to r^{*}$:

$$ r^{*}=\delta+\rho+\theta g $$

代入资本价格决定方程知：

$$\alpha (\hat{k}^{*})^{\alpha-1}=\delta+ \rho+\theta g$$

这联立横截性条件知，Ramsey模型解中内涵如下条件：

$$ \rho > n+(1-\theta)g $$

根据资本积累方程和要素价格方程知： $$\hat{c}^{}=(\hat{k}^{})^{\alpha}-(n+g+\delta) \hat{k}^{*}$$

总结，Ramsey经济体的稳态决定如下：

$$ \alpha (\hat{k}^{})^{\alpha-1}=\delta+ \rho+\theta g \ \hat{c}^{}=(\hat{k}^{})^{\alpha}-(n+g+\delta) \hat{k}^{} \ \rho > n+(1-\theta) g $$

进而可以获得稳态的产出和福利水平。

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